大学物理。

如果你仔细思考物理，你一定会从中获得乐趣，何必为荣耀而烦恼呢。

今天我要谈谈一个简短而快速的问题。

许多人对机械波的能量感到困惑。为什么处于平衡位置的介质质量元的弹性势能最大？为什么物质元素的动能和势能同时变化？

当然，您可以依靠一些特殊案例来帮助理解这些问题。例如，当摇动水平绳子产生横波时，您会发现处于平衡状态的位置变形最大，因为两侧的拉力方向相反；而在最高点或最低点，两侧的拉力指向同一方向，虽然加速度最大，但变形为零。因此，势能最大的位置应位于平衡位置。

如果用力摇动软弹簧形成横波，你会发现弹簧在平衡位置变形最明显，而最低点和最高点几乎保持不变，如下图所示。

至于动能，你很容易想到一个久经考验的规则：平衡位置处的加速度为零，速度一定是最大，因此动能最大。

这样，动能和势能同时达到最大值，当然也会同时达到最小值，从而证实了它们同步变化的规律。

但如果我们想更现实一些，我们怎样才能获得机械波能量的规律呢？然后你必须使用一点数学知识。下面更详细地给出推理和分析的过程。

考虑长度为

弹簧被拉长了

，它的弹性势能是多少？

如果你学过高中物理，你当然知道以下内容：

在

是顽固系数。如果弹簧的材质和厚度确定了，弹簧越长，阻力系数越小。这应该很容易理解。弹簧越长，拉起它所需的力气就越小。根据该规则，顽固系数可写为

在

是一个常数，取决于弹簧的厚度和材料特性。

那么上面的势能可以写为

这里故意拼凑了一个新的变量——

，即相对伸长率。因为

是一个常数，所以对于一定的弹簧（材质、厚度和原始长度都确定），它储存的势能是由它的相对伸长率决定的。

如果弹簧被压缩，则很简单

，能量表达式也相同。

简而言之，弹簧的相对变形

确定其势能！

那么，对于长度为

介质中存储的势能是类似的：它取决于其相对变形。

你可能认为这种介质中心的偏移会产生势能，但这实际上是一种错觉。介质中各点的绝对偏移量并不一定形成弹性势能！

想象一下你手里拿着一把尺子。假设它整体移动了一定的距离。显然，整个尺子的重力势能确实发生了变化，但它却从未变形，所以不存在弹性势能！但显然，尺子上的点不是偏移了吗？ ！

因此，从根本上讲，只有当内部各点的位移不同，导致各点之间产生相对位移，即材料发生变形时，才会形成弹性势能。

显然，机械波这个介质就是最好的代表！

对于机械波，波函数的变量

它描述了介质中点的偏移。这是位置

和时间

函数，也就是说，同一时刻不同点的偏移量是不一致的！因此，自然会导致各点之间产生相对位移，即波介质变形，从而产生弹性势能！

那么，介质中的势能如何随位置变化呢？

考虑某个时刻

，波表现为一条曲线 - 波形曲线。

它描述了介质中每个点的偏移量

有坐标

的变化用函数表示：

当位置

生产

偏移增量

也产生增量

。

现在分析媒体中段落的原始长度为

的质量。

变形前，其两端坐标分别为

和

。

变形后，两端点的纵向偏移量分别为

和

。左端坐标变为

，右端坐标变为

。

因此，变形介质的长度为

，绝对伸长率为

，所以相对长度

相对变形-相对伸长为

根据前面提到的相对伸长决定势能的定律，该段的原长度为

当前存储在基本元素中的势能

如果对的话

向左移动并除以该部分，即可得到该部分介质的平均势能密度。

， 所以

模拟从平均速度到瞬时速度的转变 - 转换时间

为了获得任意时刻的速度，现在考虑介质的无穷小部分，在上面的公式中

，无穷小量变成微分量，使用

代替

，则介质中任意点的势能密度为

看到它了！将两个微分相除得到导数，从而得到导数。

事实上，任何时候考虑到情况，

是的

和

功能

，因此应用偏导数符号

代替

重写为

现在好多了！谁的衍生品？抵消

素数元素坐标

的偏导数，即质量元的偏移量对坐标的变化率！这不是波形曲线上某一点切线的斜率吗？

因此，介质中质量元的势能取决于波形曲线上切线的斜率。斜率的绝对值越大，势能越大。绝对值越小，势能越小。

显然，波形曲线上，平衡位置处的斜率绝对值最大！所以这个位置的势能是最大的！斜率为零的地方在哪里？当然是在波峰和波谷处，所以这些位置的势能为零！

其实根据正弦和余弦互为导数的关系，从上图可以看出一个更通用的规律。

上述推导是基于纵波的。如果是横波，材料会发生横向变形，计算稍微复杂一些，但最终的规律是一致的。

我们来仔细看看机械波能量的表达。

首先是势能部分。

从上面的分析可以看出，为了得到势能的精确表达式，需要确定

的值，反映了该介质的顽固系数除了其长度之外的其他影响。那么，这些所谓的“其他影响”是什么呢？

材料的弹性？正确的！确切的名称是弹性模量。还有什么？该介质的厚度是多少？越厚，就越难对付，对吗？这是正确的！

弹性模量是针对固体的，对于液体也有相应的量。简而言之，就是物体本身的弹性特性。

假设弹性模量为

表示介质的厚度，即其底面积

表达，然后我们得到

因此，上面的势能

可以表示为

他们之中，

恰好是介质的体积

;一般来说，弹性模量

和波速

关系是

在

是密度，根据

，上述势能可写为

如果考察一段介质的微量元素，则上式为

转换波函数

正确的

代入 的偏导数，即势能的表达式为

我们再看一下动能部分。

这种媒介

它在振动，因此具有动能。动能很简单，直接按动能的表达式即可，即

在

是介质的振动速度——注意介质不随波移动！所以这里是

它不是波速，而是介质偏转的速度——振动速度。根据速度的定义，

获得动能

这时我们才发现，质量元的动能和势能随位置和时间的变化是完全相同的。用更物理的术语来说，它们以相同的幅度和相位变化。对于某一点来说，它们的值在每一时刻都是完全相同的。 ！

机械波的能量是动能和势能的总和，所以自然地，质量元

机械能为

现在

可以转化为

现在我可以清楚地看到，与能量、坐标和时间有关的部分

具有简谐波的标准形式。因此，机械波本身的能量也形成简谐波，其频率是波频率的两倍。对于简谐波，能量的传播速度就是波本身的速度，即相速度

。

由于简谐振动的能量随时间周期而变化，这意味着简谐振动介质的物元能量不守恒，这与简谐振动不同。许多人认为这违反直觉。他们想：简谐振动介质的所有素数不都在做简谐振动吗？这样的话，物质元素的能量应该是守恒的！ ？

问题的关键是简谐振动的素元不进行简谐振动。由于相邻主元件之间的强相互作用，主元件进行受迫振动而不是简谐振动。

当波前首先到达某个质量元时，仍处于平衡位置，此时该质量元的能量最大。当波峰或波谷达到某个质量元素时，它的能量沿着波传播的方向流出——因为它需要煽动它的邻居随之移动；当波峰或波谷到达质量元时，它又开始吸收从波源方向传入的能量，再次回到平衡位置。如此反复，能量继续沿着波线向前传播。

结尾

结尾

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